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Calculer pi à 62 800 milliards de chiffres c’est à la fois inutile et fascinant

Des chercheurs suisses de l’Université des sciences appliquées des Grisons ont revendiqué cette semaine un nouveau record du monde pour le calcul du nombre de chiffres de pi – un chiffre stupéfiant de 62 800 milliards de chiffres. D’après mon estimation, si ces chiffres étaient imprimés, ils rempliraient dix fois chaque livre de la British Library. L’exploit d’arithmétique des chercheurs a pris 108 jours et 9 heures, et éclipse le précédent record de 50 000 milliards de chiffres établi en janvier 2020.

Mais pourquoi s’en soucier ?

La constante mathématique pi (π) est le rapport de la circonférence d’un cercle à son diamètre, et est d’environ 3,1415926536. Avec seulement ces dix décimales, nous pourrions calculer la circonférence de la Terre avec une précision de moins d’un millimètre. Avec 32 décimales, nous pourrions calculer la circonférence de notre galaxie de la Voie lactée avec la précision de la largeur d’un atome d’hydrogène. Et avec seulement 65 décimales, nous connaîtrions la taille de l’univers observable à une longueur de Planck près – la distance mesurable la plus courte possible.

A quoi servent alors les autres 62,79 billions de chiffres ? Bien que la réponse courte soit qu’ils ne sont pas du tout scientifiquement utiles, les mathématiciens et les informaticiens attendront avec impatience les détails de ce calcul gargantuesque pour diverses raisons.

Qu’est-ce qui rend pi si fascinant ?

Le concept de pi est assez simple à comprendre pour un élève du primaire, mais ses chiffres sont notoirement difficiles à calculer. Un nombre comme 1/7 a besoin d’une infinité de décimales à écrire – 0,1428571428571… – mais les nombres se répètent toutes les six places, ce qui le rend facile à comprendre. Pi, d’autre part, est un exemple de nombre irrationnel, dans lequel il n’y a pas de motifs répétitifs. Non seulement pi est irrationnel, mais il est également transcendant, ce qui signifie qu’il ne peut être défini par une équation simple comportant des nombres entiers.

Les mathématiciens du monde entier calculent pi depuis l’Antiquité, mais les techniques pour le faire ont radicalement changé après le XVIIe siècle, avec le développement du calcul et des techniques des séries infinies. Par exemple, la série Madhava (du nom du mathématicien indo -hindou Madhava de Sangamagrama ), dit :

= 4(1 – 1/3 + 1/5 – 1/7 + 1/9 – 1/11 + …)

En ajoutant de plus en plus de termes, ce calcul se rapproche de plus en plus de la vraie valeur de pi. Mais cela prend beaucoup de temps — après 500 000 termes, il ne produit que cinq décimales correctes de pi !

La recherche de nouvelles formules pour pi ajoute à notre compréhension mathématique du nombre, tout en permettant aux mathématiciens de rivaliser pour se vanter dans la quête de plus de chiffres. La somme infinie utilisée dans l’effort record de 2020 a été découverte en 1988 et peut calculer 14 nouveaux chiffres de pi pour chaque nouveau terme ajouté à la somme.

Bien que battre le record puisse être l’une des principales motivations pour trouver de nouveaux chiffres de pi, il existe deux autres avantages importants.

Le premier est le développement et le test de supercalculateurs et de nouveaux algorithmes de multiplication de haute précision. L’optimisation du calcul de pi conduit à du matériel informatique et des logiciels qui profitent à de nombreux autres domaines de notre vie, des prévisions météorologiques précises au séquençage de l’ADN et même à la modélisation COVID.

Le dernier calcul de pi était 3,5 fois plus rapide que l’effort précédent, malgré les 12 000 milliards de décimales supplémentaires – une augmentation impressionnante des performances de supercalcul en seulement 18 mois.

La seconde est l’exploration de la nature même de pi. Malgré des siècles de recherche, il reste encore des questions fondamentales sans réponse sur le comportement de ses chiffres. On suppose que pi est un nombre « normal », ce qui signifie que toutes les séquences possibles de chiffres devraient apparaître aussi souvent.

Par exemple, nous nous attendons à ce que le chiffre 3 apparaisse aussi souvent que le chiffre 8 et que la chaîne de chiffres « 12345 » apparaisse aussi souvent que « 99999 ». Mais nous ne savons même pas si chaque chiffre décimal apparaît infiniment souvent dans pi, et encore moins s’il existe des modèles plus complexes à découvrir.

Les données pour le nouveau calcul pi n’ont pas encore été publiées, car les chercheurs attendent la confirmation du livre Guinness des records. Mais nous espérons qu’il y aura de nombreux trésors mathématiquement intéressants dans les nombres.

Nous ne « finirons » jamais de calculer les chiffres de pi – il y aura toujours plus à trouver et de nouveaux records à battre. Si vous ne possédez pas de superordinateur, mais que vous avez soif de calcul de chiffres décimaux (et un doctorat en mathématiques), pourquoi ne pas essayer d’autres nombres irrationnels intéressants comme √3 (connu seulement à 10 milliards de chiffres), la constante de Tribonacci (20 000 chiffres) ou la constante Twin Prime (1 001 chiffres). Vous ne ferez peut-être pas l’actualité du matin, mais c’est sans doute un moyen plus facile de vous inscrire dans le livre des records.

Julia Collins – Maître de conférences en mathématiques, Université Edith Cowan

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